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理由で解く 理学療法士

QP53P021 基礎理学療法学

出典:第53回理学療法士国家試験(2018)午後 問21
問題
入院患者100人の収縮期血圧を集計した標本Aの分布は、中央値や平均値の近くに測定値が集中していた。他の値より極端に小さい値が1つあり、再度確認したところ誤記入であることが分かったため、この値を除いて標本Bを作った。標本Aに比べ標本Bの方が大きい統計量はどれか。
選択肢
1 分散
2 最大値
3 最頻値
4 平均値
5 標準偏差
解答
正解4(平均値)
解説

極端に小さい外れ値を1つ除くと、平均値は上方へ引き上げられて大きくなる。散布度(分散・標準偏差)はばらつきが減って小さくなる。

平均値は全データの合計をnで割った値で、外れ値の影響を強く受ける。極端に小さい値が1つあると平均は下方に引っ張られているため、その値を除けば残りのデータで再計算した平均値は上昇する。一方、分散・標準偏差は平均からの偏差の大きい外れ値を含むほど大きくなるので、外れ値を除くと減少する。最大値と最頻値は下端の値を除いても変化しない。したがって標本Bで大きくなるのは平均値のみ。

✗ 1. 誤り
分散
外れ値(大きな偏差)を除くとばらつきが減り小さくなる
✗ 2. 誤り
最大値
下端の小さい値を除いても上端は不変
✗ 3. 誤り
最頻値
中央付近に集中する山の頂点は不変
✓ 4. 正しい
平均値
下方に引っ張っていた極小値を除くと上昇する
✗ 5. 誤り
標準偏差
分散の平方根で、外れ値除去により小さくなる
ポイント
  • 平均値は外れ値の影響を受ける
  • 小さい外れ値を除くと平均は上がる
  • 分散・標準偏差はばらつきの指標で外れ値除去により減少
  • 最頻値・中央値は外れ値に頑健
比較表
極端に小さい外れ値を1つ除いたときの変化
統計量変化
平均値大きくなる
分散・標準偏差小さくなる
最大値・最頻値・中央値ほぼ不変
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